K3 surfaces and their automorphisms

Abstract: K3 surfaces over the complex numbers are two dimensional complex manifolds which can be seen as generalizations of elliptic curves [4, 5]. All of them are diffeomorphic to the Fermat quartic in three dimensional projective space:

x_0^4+x_1^4+x_2^4+x_3^4=0

The study of these surfaces goes back to the 19th century and had a great development after the proof of a Torelli theorem in 1971. Nowadays K3 surfaces are source of challenging open problems (for example a general structure theorem for their automorphism group is unknown) and are testing ground of deep conjectures in Algebraic geometry, Number theory and Physics (Mirror symmetry).

In this talk I will provide a short introduction to complex K3 surfaces and then I will concentrate on the description of their automorphisms. In particular, I will report on recent results about projective models of K3 surfaces with finite automorphism group (joint with C. Correa Deisler, A. Laface and X. Roulleau) and K3 surfaces with non-symplectic automorphisms whose moduli space is one dimensional (joint with P. Comparin and M.E. Valdés Vásquez) [2, 3].

[1] Artebani, Michela; Correa Deisler, Claudia; Laface, Antonio, Cox rings of K3 surfaces of Picard number three, Journal of Algebra, Vol. 565 (2021), 598–626.

[2] Artebani, Michela; Correa Deisler, Claudia; Roulleau, Xavier, Mori dream K3 surfaces of Picard number four: projective models and Cox rings, https://arxiv.org/abs/2011.00475.

[3] Artebani, Michela; Comparin, Paola; Valdés Vásquez, María Elisa, Non-symplectic automorphisms of K3 surfaces with one dimensional moduli space, https://arxiv.org/abs/2009.05415.

[4] Huybrechts, Daniel, Lectures on K3 surfaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 158. Cambridge University Press, Cambridge (2016). xi+485 pp.

[5] Laface, Antonio, Mini-course on K3 surfaces, Lecture notes of a mini-course at Moscow State University (2012), http://www2.udec.cl/ alaface/notes.html.

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Estimación adaptativa en modelos de regresión funcional asociado a proceso de Wiener

Resumen: En esta charla, estudiaremos métodos de suavizamiento para estimar funciones no-paramétricas. Veremos cómo elegir los parámetros de suavizamiento con el objetivo de tener estimadores óptimos. Más específicamente, introduciremos el método de Goldenshluger-Lepski (2011) que permite obtener estimadores que se adaptan a la regularidad de la función. Mostraremos cómo extender este método en el caso de la regresión funcional donde la variable regresora es un proceso de Wiener. 

Sobre una generalización al modelo SEIR, desafíos matemáticos y el caso de la Covid-19 en Chile

Resumen: El modelo epidemiológico SEIR con parámetros constantes determina una curva de casos activos que presenta un comportamiento necesariamente unimodal. Presentamos dos generalizaciones simples (una ecuación más) que permiten superar dicha limitación y ajustar-interpretar de mejor modo, por ejemplo, los datos de casos diarios confirmados de la COVID-19 para varios países. Algunas simulaciones estimulan introducir generalizaciones al concepto de solución estable para cierto tipo de sistemas diferenciales ordinarios [1, 2, 3]. 

[1] Córdova-Lepe, F. Sobre una ley dinámica para la tasa de contagio. 4to. Workshop sobre modelamiento aplicado al COVID-19 en Chile, 29/01/2021.

[2] Cabrera, M; Córdova-Lepe, F; Gutiérrez-Jara, JP; Vogt-Geisse, K. An SIR-type epidemiological model that integrates social distancing as a dynamic law based on point prevalence and socio-behavioral factors (2020) Submitted.

[3] Córdova-Lepe, F; Vogt-Geisse, K. A dynamic law for the contagion rate in SIR-type models (2021) To be submitted.

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¿Algebra y geometría en el estudio de redes enzimáticas?

Resumen: En esta charla intentaré mostrar que la pregunta del título tiene una respuesta positiva, resumiendo resultados recientes sobre redes de señalización celular obtenidos por medio de herramientas álgebro-geométricas. La exposición estará dirigida a un público general.

Computing roots of hypergeometric orthogonal polynomials via a gradient flow

Abstract: Seminal work of Heine and Stieltjes dating from the nineteenth century established that the roots of classical orthogonal polynomials (like Jacobi-, Laguerre-, and Hermite polynomials) encode the electrostatic equilibria of configurations of charged wires. Historically, this observation has helped to unveil many intriguing properties of the roots in question. For the roots of hypergeometric orthogonal polynomials beyond the classical families (like Hahn's and Wilson's polynomials), however, no such electrostatic interpretation is known.  
I will discuss a smooth Morse function arising from the study of quantum integrable particle models whose unique global minimum has coordinates given by the roots of the latter hypergeometric orthogonal polynomials. This opens the way to compute the positions of these roots via the corresponding gradient flow.

Metáforas conceptuales y la modelización en matemáticas

Resumen: Las metáforas conceptuales se encuentran presentes en distintos procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, si bien es un recurso lingüístico y/o gestual usado por casi todos los profesores, aun cuando no tenemos conciencia de ello. El uso de las metáforas puede facilitar o complejizar la significación de los objetos matemáticos abstractos con los que trabajamos.

En la siguiente charla se desarrollará una exposición breve a algunos elementos teóricos en los que se fundamenta esta perspectiva de investigación dentro de la enseñanza de las matemáticas y su impacto en un proceso esencial la modelización; así como algunos resultados de investigación y recomendaciones para el aula.

Resultados clásicos y modernos sobre el grupo automorfismos de hipersuperficies del espacio proyectivo

Resumen: En palabras simples, una hipersuperficie es el lugar geométrico determinado por los ceros de un único polinomio homogéneo en varias variables. A pesar de su simpleza, las hipersuperficies hasn mostrado ser centrales en el desarrollo de la geometría algebraica desde sus comienzos: ya sea por ser una excelente tierra fértil para concretar resultados sobre variedades más generales, como por ser motor de creación de nuevas teorías capaces de atacar problemas clásicos referentes a ellas.

En esta charla, me centraré en discutir la descripción del grupo de automorfismos de dichos objetos (es decir, estudiar sus simetrías), haciendo hincapié en dar ejemplos explícitos y en aspectos históricos. Luego de recordar y ejemplificar resultados clásicos, presentaré nuevos resultados obtenidos en conjunto con Víctor González-Aguilera y Álvaro Liendo, inspirados en trabajos recientes de Oguiso, We y Yu sobre automorofismos de cúbicas y quínticas de dimension 3. Finalmente, discutiré sobre perspectivas y preguntas abiertas qeu se plantean a partir de esto último y que pueden ser de interés para la audiencia. 

Ghost phenomenon in abelian categories

Abstract: The so-called ‘Phantom phenomenon’ in triangulated categories (for ex. see [Nee92]) has been sucessufelly carried into module categories over any ring by [Her07], subsequently into exact category setting by [FGHT13]. There are certain advancements on phantom mor- phisms in abelian categories which show its parallelism with the existing one in triangulated categories. On the other hand, the so-called ‘Ghost phenomenon’ ocurred in certain topolog- ical/triangulated categories is not studied at all from ‘abelian’ point of view.

It should be emphasized that one can find different notions of ‘ghost’ morphisms in the literature depending on the base category. However, they are essentially based on the fol- lowing: they are morphisms vanished under certain homological/homotopical functors; see [Fre66] for ghost morphisms with respect to the functor of stable homotopy groups on ho- motopy category of spectra; see [Kel65] and [Chr98] for ghost morphisms with respect to homology functor in the homotopy and derived category K(R) and D(R) of a ring R, re- spectively; see [CCM08] for ghost morphisms with respect to Tate cohomology functor in the stable module category of a finite group.

Most of works on ghost morphisms in derived/homotopy and stable module categories are centered on investigating several analogues of ‘Freyd’s Generating Hypothesis’ proposed in [Fre66] for the homotopy category of spectra; it claims that there are no nontrivial ghost maps in the category of finite spectra.

In our ongoing joint work, we introduce and study (relative) ghost morphisms in abelian setting. In this talk, we will explain some of the results on how we connect existing ghost morphisms with our ghost morphisms in abelian setting, and how to handle the GH in an abelian category.
This is a joint work-in-progress with Sergio Estrada, X.H. Fu and Ivo Herzog.

[CCM08] Chebolu,S.K.,Christensen,J.D.,&Mina ́c,J.(2008).Groupswhichdonotadmit ghosts. Proceedings of the American Mathematical Society 136, No: 4, 1171-1179.

[Chr98] Christensen, J. D. (1998). Ideals in triangulated categories: phantoms, ghosts and skeleta. Adv. Math. 136, no. 2, 284-339.

[FGHT13] Fu, X. H., Guil Asensio, P. A,, Herzog, I. & Torecillas, B. (2013). Ideal approximation theory. Advances in Mathematics, 244, 750-790.

[Fre66] Freyd, P. (1966). Stable Homotopy. Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. Springer, Berlin, Heidelberg.

[Her07] Herzog,I.(2007).The phantom cover of a module. Adv. in Math. 215, 220-249. 

[Kel65] Kelly, G. (1965). Chain maps inducing zero homology maps. Mathematical Pro- ceedings of the Cambridge Philosophical Society, 61(4), 847-854.

[Nee92] Neeman, A. (1992). The Brown Representability Theorem and Phantomless Trian- gulated Categories, J. Alg. 15, 118-155.

El flujo de redes por curva

Resumen: El estudio de flujos geométricos tiene una larga historia, que gano particular atención con la resolución de la conjetura de Poincare a comienzos del siglo. Sin embargo, este tipo de preguntas tienen diversos orígenes, que van desde la ciencia de los materiales hasta aplicaciones como la anteriormente mencionada.

En esta charla me concentraré en describir uno de los problemas fundacionales del area: la evolución de redes por curvatura.
La pregunta fue formulada por Mullins en la década del 50 y buscaba comprender la evolución de interfaces en ciencia de los materiales. De acuerdo a lo experimentos, esta evolución minimizaba de manera óptima el área de estas interfaces, lo que puede describirse mediante un flujo geométrico, que se conoce como "Flujo de cuvatura media" (a partir de la década de los 80). Sin embargo, el problema original aún presenta numerosos desafíos desde el punto de vista analítico, que son motivo de estudio y que abordaré durante esta exposición.